6502. Вписанная в треугольник ABC
окружность с центром O
касается сторон AB
, BC
и AC
в точках E
, F
и G
соответственно. Точка H
симметрична G
относительно O
. Прямые EG
и HF
пересекаются в точке D
. Докажите, что прямые BD
и AC
параллельны.
Решение. Обозначим \angle ABC=\beta
. Тогда
\angle EGF=\frac{1}{2}\angle EOF=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle EBF)=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle ABC)=
=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\beta)=90^{\circ}-\frac{\beta}{2},
а так как \angle DFG=\angle HFG=90^{\circ}
, то из прямоугольного треугольника DFG
находим, что
\angle FDG=90^{\circ}-\angle DGF=90^{\circ}-\angle EGF=90^{\circ}-\left(90^{\circ}-\frac{\beta}{2}\right)=\frac{\beta}{2}.
Поскольку BE=BF
(как отрезки касательных, проведённых к окружности из одной точки) и
\angle FDE=\angle FDG=\frac{\beta}{2}=\frac{1}{2}\angle EBF,
то точка D
лежит на окружности с центром B
и радиусом BE=BF
(см. задачу 2900). Значит, BD=BE
.
Треугольники BDE
и AEG
равнобедренные, причём
\angle BDE=\angle BED=\angle AEG=\angle AGE.
Значит, \angle DBE=\angle GAE
. Следовательно, BD=AC
.
Автор: Евдокимов М. А.
Источник: Московская математическая олимпиада. — 1999, LXII, 9 класс
Источник: Евдокимов М. А. От задачек к задачам. — М.: МЦНМО, 2004. — № 13, с. 17
Источник: Фёдоров Р. М. и др. Московские математические олимпиады. 1993—2005 / Под ред. В. М. Тихомирова. — М.: МЦНМО, 2006. — № 5, с. 41