6517. На сторонах AB
, BC
и AC
треугольника ABC
взяты точки C'
, A'
и B'
соответственно. Докажите, что площадь треугольника A'B'C'
равна
\frac{AB'\cdot BC'\cdot CA'+AC'\cdot CB'\cdot BA'}{4R},
где R
— радиус описанной окружности треугольника ABC
.
Решение. Поскольку S_{\triangle ABC}=\frac{AB\cdot BC\cdot CA}{4R}
, достаточно доказать, что
\frac{S_{\triangle A'B'C'}}{S_{\triangle ABC}}=\frac{AB'\cdot BC'\cdot CA'+AC'\cdot CB'\cdot BA'}{AB\cdot BC\cdot CA}.
Обозначим
\frac{AB'}{AC}=x,~\frac{BC'}{BA}=y,~\frac{CA'}{CB}=z.
Тогда (см. задачу 3007)
\frac{S_{\triangle AB'C'}}{S_{\triangle ABC}}=\frac{AB'}{AC}\cdot\frac{AC'}{AB}=x(1-y),~\frac{S_{\triangle A'BC'}}{S_{\triangle ABC}}=\frac{BC'}{BA}\cdot\frac{BA'}{BC}=y(1-z),
\frac{S_{\triangle A'B'C}}{S_{\triangle ABC}}=\frac{CA'}{CB}\cdot\frac{CB'}{CA}=z(1-x).
Поэтому
S_{\triangle A'B'C'}=(1-x(1-y)-y(1-z)-z(1-x))S_{\triangle ABC}=
=(xyz+(1-x)(1-y)(1-z))S_{\triangle ABC}=
=(AB'\cdot BC'\cdot CA'+AC'\cdot CB'\cdot BA')S_{\triangle ABC}.
Что и требовалось доказать.
Автор: Заславский А. А.
Источник: Московская математическая олимпиада. — 1997, LX, 11 класс
Источник: Журнал «Квант». — 1997, № 4, с. 55
Источник: Фёдоров Р. М. и др. Московские математические олимпиады. 1993—2005 / Под ред. В. М. Тихомирова. — М.: МЦНМО, 2006. — № 1, с. 36