6551. Пусть a
, b
и c
— стороны треугольника, m_{a}
, m_{b}
и m_{c}
— медианы, проведённые к этим сторонам, D
— диаметр окружности, описанной около треугольника. Докажите, что
\frac{a^{2}+b^{2}}{m_{c}}+\frac{b^{2}+c^{2}}{m_{a}}+\frac{c^{2}+a^{2}}{m_{b}}\leqslant6D.
Решение. Пусть AB=c
, AC=b
, BC=a
. Продолжим медианы AA_{1}=m_{a}
, BB_{1}=m_{b}
и CC_{1}=m_{c}
треугольника ABC
до пересечения с описанной окружностью треугольника в точках A_{2}
, B_{2}
и C_{2}
соответственно. Тогда
AA_{2}\leqslant D,~BB_{2}\leqslant D,~CC_{2}\leqslant D,
т. е.
m_{a}+A_{1}A_{2}\leqslant D,~m_{b}+B_{1}B_{2}\leqslant D,~m_{c}+C_{1}C_{2}\leqslant D.
По теореме о произведениях пересекающихся хорд окружности
A_{1}A_{2}\cdot AA_{1}=BA_{1}\cdot A_{1}C~\Rightarrow~A_{1}A_{2}=\frac{BA_{1}\cdot A_{1}C}{AA_{1}}=\frac{\frac{a}{2}\cdot\frac{a}{2}}{m_{a}}=\frac{a^{2}}{4m_{a}}.
Аналогично,
B_{1}B_{2}=\frac{b^{2}}{4m_{b}},~C_{1}C_{2}=\frac{c^{2}}{4m_{c}}.
Подставим эти выражения в полученные ранее неравенства и сложим их почленно:
(m_{a}+A_{1}A_{2})+(m_{b}+B_{1}B_{2})+(m_{c}+C_{1}C_{2})=
=\left(m_{a}+\frac{a^{2}}{4m_{a}}\right)+\left(m_{b}+\frac{b^{2}}{4m_{b}}\right)+\left(m_{c}+\frac{c^{2}}{4m_{c}}\right)=
=\frac{4m_{a}^{2}+a^{2}}{4m_{a}^{2}}+\frac{4m_{b}^{2}+b^{2}}{4m_{b}^{2}}+\frac{4m_{c}^{2}+c^{2}}{4m_{c}^{2}}\leqslant3D,
а так как по формуле для медианы треугольника (см. задачу 4014)
4m_{a}^{2}+a^{2}=2b^{2}+2c^{2},~4m_{b}^{2}+b^{2}=2a^{2}+2c^{2},~4m_{c}^{2}+c^{2}=2a^{2}+2b^{2},
то
\frac{a^{2}+b^{2}}{2m_{c}}+\frac{b^{2}+c^{2}}{2m_{a}}+\frac{c^{2}+a^{2}}{2m_{b}}\leqslant3D.
Следовательно,
\frac{a^{2}+b^{2}}{m_{c}}+\frac{b^{2}+c^{2}}{m_{a}}+\frac{c^{2}+a^{2}}{m_{b}}\leqslant6D.