6598. В выпуклый четырёхугольник ABCD
, у которого углы при вершинах B
и D
— прямые, вписан четырёхугольник с периметром P
(его вершины лежат по одной на сторонах четырёхугольника ABCD
).
а) Докажите неравенство P\geqslant2BD
.
б) В каких случаях это неравенство превращается в равенство?
Решение. а) Пусть вершины E
, F
, K
и L
четырёхугольника EFKL
лежат на сторонах соответственно AB
, BC
, CD
и AD
выпуклого четырёхугольника ABCD
. Обозначим через M
и N
середины отрезков EF
и KL
соответственно. Мы докажем неравенство из пункта а) в более общем случае: \angle B\geqslant90^{\circ}
, \angle D\geqslant90^{\circ}
.
Медиана треугольника, проведённая из вершины неострого угла, не превосходит половины стороны, к которой она проведена, поэтому (см. задачу 3550)
BM\leqslant\frac{1}{2}EF,~DN\leqslant\frac{1}{2}KL.
Поскольку \overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{EL}+\overrightarrow{FK})
(см. задачу 4504), то
MN=|\overrightarrow{MN}|\leqslant\frac{1}{2}(EL+FK).
Кроме того,
BM+MN+ND\geqslant BD,
Следовательно,
P=EF+FK+KL+EL=EF+KL+(EL+FK)\geqslant
\geqslant2BM+2DN+2MN=2(BM+DN+MN)\geqslant2BD.
б) Неравенства
BM\leqslant\frac{1}{2}EF,~DN\leqslant\frac{1}{2}KL
обращаются в равенства, если \angle B=90^{\circ}
и \angle D=90^{\circ}
, а неравенство
MN\leqslant\frac{1}{2}(EL+FK),
— если EL\parallel FK\parallel MN
. Кроме того, в случае равенства точки B
, M
, N
и D
лежат на одной прямой.
Таким образом, получаем следующий способ построения всех четырёхугольников EFKL
, для которых рассматриваемое неравенство превращается в равенство.
Пусть O
— точка пересечения диагоналей AC
и BD
четырёхугольника ABCD
и AO\leqslant OC
. Через произвольную точку отрезка AO
проведём прямую EL
, параллельную BD
(точка E
лежит на стороне AB
, L
— на AD
). Симметрично отразив прямую EL
относительно BD
, получим противоположную сторону KF
искомого четырёхугольника.