6603. На основании BC
трапеции ABCD
взята точка E
, лежащая на одной окружности с точками A
, C
и D
. Другая окружность, проходящая через точки A
, B
и C
, касается прямой CD
.
а) Докажите, что треугольник ACD
подобен треугольнику ABE
.
б) Найдите BC
, если AB=12
, BE:EC=4:5
.
Ответ. 18.
Указание. а) Примените теорему об угле между касательной и хордой (см. задачу 87).
б) Докажите подобие треугольников CBA
и ABE
.
Решение. а) Обозначим \angle ACD=\alpha
. Рассмотрим окружность, описанную около треугольника ABC
. Из теоремы об угле между касательной и хордой (см. задачу 87) следует, что \angle ABC=\angle ACD=\alpha
.
Обозначим \angle ADC=\beta
. Рассмотрим окружность, описанную около треугольника ACD
. Сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника ADCE
равна 180^{\circ}
, поэтому
\angle BEA=180^{\circ}-\angle AEC=\angle ADC=\beta.
Следовательно, треугольники ACD
и ABE
подобны по двум углам.
б) Из подобия треугольников ACD
и ABE
следует, что \angle CAD=\angle BAE
, а так как \angle ACB=\angle CAD=\angle BAE
, то треугольник CBA
подобен ABE
по двум углам (угол при вершине B
— общий).
Положим BE=4x
, CE=5x
. Тогда \frac{AB}{BC}=\frac{BE}{AB}
, или \frac{12}{9x}=\frac{4x}{12}
. Отсюда находим, что x=2
. Следовательно, BC=9x=18
.