6605. В выпуклом четырёхугольнике ABCD
диагонали AC
и BD
пересекаются в точке O
, M
— середина стороны BC
. Пусть прямая MO
пересекает сторону AD
в точке E
. Докажите, что \frac{AE}{ED}=\frac{S_{\triangle ABO}}{S_{\triangle CDO}}
.
Указание. Примените теорему Менелая (см. задачу 1622) к треугольникам ABC
, ABD
и прямой ME
.
Решение. Пусть P
— точка пересечения прямых AB
и MO
. Применяя теорему Менелая (см. задачу 1622) к треугольникам ABC
, ABD
и прямой PE
, получим, что
\frac{AP}{PB}\cdot\frac{BM}{MC}\cdot\frac{CO}{OA}=1,~\frac{AP}{PB}\cdot\frac{BO}{OD}\cdot\frac{DE}{AE}=1.
Из равенства
\frac{AP}{PB}\cdot\frac{BO}{OD}\cdot\frac{DE}{AE}=\frac{AP}{PB}\cdot\frac{BM}{MC}\cdot\frac{CO}{OA}
находим, что \frac{EA}{DE}=\frac{OA\cdot BO}{CO\cdot OD}
. Следовательно,
\frac{S_{\triangle ABO}}{S_{\triangle CDO}}=\frac{\frac{1}{2}OA\cdot OB\sin\angle AOB}{\frac{1}{2}OC\cdot OD\sin\angle COD}=\frac{OA\cdot BO}{CO\cdot OD}=\frac{AE}{ED}.
Что и требовалось доказать.
Автор: Волчкевич М. А.
Источник: Олимпиада по геометрии им. И. Ф. Шарыгина. — 2012, VIII, заочный тур, № 14, 9-10 классы
Источник: Шаповалов А. В., Медников Л. Э. Как готовиться к математическим боям: 400 задач турниров имени А. П. Савина. — М.: МЦНМО, 2020. — № 245, с. 53