6624. Внутри выпуклого четырёхугольника ABCD
взята такая точка P
, что \angle PBA=\angle PCD=90^{\circ}
. Точка M
— середина стороны AD
, причём BM=CM
. Докажите, что \angle PAB=\angle PDC
.
Решение. Пусть K
и L
— середины отрезков AP
и DP
соответственно. Тогда четырёхугольник KPLM
— параллелограмм, а так как BK
и CL
— медианы прямоугольных треугольников ABP
и DCP
, проведённые из вершин прямых углов, то
BK=\frac{1}{2}AP=KP=ML,~CL=\frac{1}{2}DP=LP=KM
(см. задачу 1109), значит, треугольники BKM
и MLC
равны по трём сторонам. Тогда \angle BKM=\angle MLC
, или \angle BKP+\angle PKM=\angle CLP+\angle MLP
, а так как \angle PKM=\angle MLP
(как противоположные углы параллелограмма), то \angle BKP=\angle CLP
. Следовательно,
\angle PAB=\angle KAB=\frac{1}{2}\angle BKP=\frac{1}{2}\angle CLP=\angle PDC.