6647. Найдите геометрическое место центров тяжести (точек пересечения медиан) треугольников, вершины которых лежат на сторонах данного треугольника (по одной вершине внутри каждой стороны).
Ответ. Внутренность шестиугольника с вершинами в точках на сторонах данного треугольника, делящими эти стороны на три равные части.
Решение. Пусть точки A'
, B'
, C'
лежат на сторонах соответственно BC
, CA
, AB
треугольника ABC
. Поскольку середина C_{0}
отрезка A'B'
лежит внутри треугольника ABC
, расстояние от неё до стороны AB
меньше опущенной на эту сторону высоты треугольника.
Поскольку центр тяжести M
треугольника A'B'C'
делит отрезок C'C_{0}
в отношении 2:1
, расстояние от точки M
до AB
меньше, чем \frac{2}{3}
этой высоты. Значит, точка M
лежит внутри треугольника ABC
между прямой AB
и параллельной ей прямой, проходящей через точку высоты CH
, делящую эту высоту в отношении 1:2
, считая от вершины C
.
Аналогично получаем, что точка M
лежит между прямой BC
(AC
) и параллельной ей прямой, проходящей через точку, лежащую на соответствующей высоте треугольника ABC
и делящей эту высоту в отношении 1:2
, считая от вершины треугольника ABC
.
Следовательно, точка M
лежит внутри шестиугольника, образованного сторонами данного треугольника и прямыми, симметричными им относительно точки пересечения его медиан.
Пусть теперь точка M
лежит внутри этого шестиугольника. Докажем, что на сторонах треугольника ABC
найдутся такие точки A'
, B'
, C'
, что M
— центр тяжести треугольника A'B'C'
.
Пусть, точка M
расположена, например, между прямой AB
и симметричной ей относительно центра тяжести треугольника ABC
прямой l
. Опустим перпендикуляр MK
из точки M
на прямую AB
. На продолжении отрезка MK
за точку M
отложим отрезок MN=\frac{1}{2}MK
, и через точку N
проведём прямую, параллельную AB
. Поскольку отрезок MK
меньше, чем \frac{1}{3}
высоты треугольника ABC
, проведённой из вершины C
, прямая l
пересекает отрезки AC
и BC
в некоторых точках X
и Y
.
Пусть C'
— точка на стороне AB
, а прямая C'M
пересекает отрезок XY
в точке Z
. Через точку Z
проведём прямую, отрезок A'B'
которой, заключённый внутри угла ACB
, делился бы этой точкой пополам (см. задачу 1232). Поскольку точки Z
и C
лежат по одну сторону от средней линии треугольника ABC
, параллельной AB
, точки A'
и B'
лежат на сторонах AC
и BC
(а не на их продолжениях). Следовательно, треугольник A'B'C'
— искомый.