6650. В трапеции с перпендикулярными диагоналями высота равна средней линии. Докажите, что трапеция равнобокая.
Решение. Первый способ. Проведём через вершину C
прямую, параллельную диагонали BD
. Пусть E
— точка пересечения этой прямой с продолжением основания AD
. Тогда треугольник ACE
— прямоугольный и, значит, его медиана, проведённая из вершины C
, равна половине гипотенузы, т. е. средней линии трапеции. Из условия задачи, что высота этого треугольника совпадает с медианой, поэтому диагонали трапеции равны. Следовательно, она равнобокая (см. задачу 1915).
Второй способ. Пусть AD
и BC
— основания трапеции, O
— точка пересечения её диагоналей. Тогда медианы прямоугольных треугольников OAD
и OBC
, проведённые из общей вершины O
, равны половинам их гипотенуз, т. е. сумма этих медиан равна средней линии трапеции.
С другой стороны, высота трапеции равна сумме высот этих же треугольников. Поэтому из условия задачи следует, что медианы совпадают с высотами, т.е треугольники OAD
и OBC
— равнобедренные, откуда, очевидно, вытекает, что AB=CD
.