6658. В угол вписаны две окружности \omega
и \Omega
. Прямая l
пересекает стороны угла в точках A
и F
, окружность \omega
в точках B
и C
, окружность \Omega
— в точках D
и E
(порядок точек на прямой — A
, B
, C
, D
, E
, F
). Пусть BC=DE
. Докажите, что AB=EF
.
Решение. Пусть одна сторона угла касается окружностей \omega
и \Omega
в точках X_{1}
, Y_{1}
, а другая — в точках X_{2}
, Y_{2}
; U
, V
— точки пересечения X_{1}X_{2}
и Y_{1}Y_{2}
с AF
. Пусть M
— середина отрезка CD
. Тогда M
— середина BE
, поэтому MC\cdot MB=MD\cdot ME
, значит, точка M
лежит на радикальной оси окружностей (см. задачу 6391), т. е. средней линии трапеции X_{1}Y_{1}Y_{2}X_{2}
(см. задачу 6122), поэтому MU=MV
, а значит, BU=EV
и CU=DV
. Следовательно,
X_{1}U\cdot X_{2}U=BU\cdot CU=EV\cdot DV=Y_{1}V\cdot Y_{2}V.
Отсюда получаем, что \frac{Y_{2}V}{X_{2}U}=\frac{X_{1}U}{Y_{1}V}
. Следовательно,
\frac{FY_{2}}{FX_{2}}=\frac{Y_{2}V}{X_{2}U}=\frac{X_{1}U}{Y_{1}V}=\frac{AX_{1}}{AY_{1}},
т. е. AX_{1}=FY_{2}
.
Теперь утверждение задачи вытекает из равенств
AB\cdot AC=AX_{1}^{2}=FY_{2}^{2}=FE\cdot FD.
Автор: Богданов И. И.
Источник: Олимпиада по геометрии им. И. Ф. Шарыгина. — 2011, VII, финальный тур, № 7, 9 класс