6671. В трапеции ABCD
боковая сторона AB
перпендикулярна AD
и BC
, причём AB=\sqrt{AD\cdot BC}
. Пусть E
— точка пересечения продолжений боковых сторон трапеции, O
— точка пересечения диагоналей, M
— середина AB
. Найдите \angle EOM
.
Ответ. 90^{\circ}
.
Указание. Докажите, что EK\cdot MK=OK^{2}
, где K
— проекция точки O
на AB
.
Решение. Обозначим AD=a
, BC=b
. Опустим перпендикуляр OK
из точки пересечения диагоналей на боковую сторону AB
. Из подобия треугольников BOC
и DOA
получаем, что \frac{BO}{OD}=\frac{BC}{AD}=\frac{b}{a}
. Тогда \frac{BO}{BD}=\frac{b}{a+b}
. Из подобия треугольников OBK
и DBA
находим, что
OK=AD\cdot\frac{BO}{BD}=\frac{ab}{a+b},~BK=AB\cdot\frac{BO}{BD}=\frac{b\sqrt{ab}}{a+b}.
Из подобия треугольников BEC
и AED
получаем, что
\frac{BE}{AE}=\frac{BC}{AD},~\mbox{или}~\frac{BE}{\sqrt{ab}+BE}=\frac{b}{a},
откуда BE=\frac{b\sqrt{ab}}{a-b}
. Тогда
MK=MB-BK=\frac{\sqrt{ab}}{2}-\frac{b\sqrt{ab}}{a+b}=\frac{(a-b)\sqrt{ab}}{2(a+b)},
EK=BE+BK=\frac{b\sqrt{ab}}{a-b}+\frac{b\sqrt{ab}}{a+b}=\frac{2ab\sqrt{ab}}{a^{2}-b^{2}}.
Значит,
EK\cdot MK=\frac{2ab\sqrt{ab}}{a^{2}-b^{2}}\cdot\frac{(a-b)\sqrt{ab}}{2(a+b)}=\frac{a^{2}b^{2}}{(a+b)^{2}}=OK^{2}.
Следовательно (см. задачу 1987), треугольник MOE
прямоугольный, и \angle EOM=90^{\circ}
.