6672. Существует ли треугольник, в котором одна сторона равна какой-то из его высот, другая — какой-то из биссектрис, а третья — какой-то из медиан?
Ответ. Не существует.
Решение. Любой отрезок, соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной стороне, меньше наибольшей из двух других его сторон (см. задачу 3501). Значит, любая медиана или биссектриса короче хотя бы одной из сторон и, тем самым, короче наибольшей стороны. Тем более, это верно для высот. Следовательно, наибольшая сторона треугольника длиннее любой из его высот, медиан или биссектрис.
Автор: Френкин Б. Р.
Источник: Олимпиада по геометрии им. И. Ф. Шарыгина. — 2010, VI, заочный тур, № 1, 8 класс