6673. Точки A'
, B'
, C'
лежат на сторонах соответственно BC
, AC
, AB
треугольника ABC
. Точка X
такова, что \angle AXB=\angle A'C'B'+\angle ACB
и \angle BXC=\angle B'A'C'+\angle BAC
. Докажите, что четырёхугольник XA'BC'
— вписанный.
Решение. Рассмотрим случай, изображённый на рисунке. Пусть Y
— отличная от C'
точка пересечения описанных окружностей треугольников AB'C'
и BC'A'
. Поскольку
\angle B'YC'=180^{\circ}-\angle BAC~\mbox{и}~\angle C'YA'=180^{\circ}-\angle CBA,
то
\angle A'YB'=180^{\circ}-\angle ACB,
значит, точка Y
лежит также на описанной окружности треугольника CA'B'
.
Заметим теперь, что
\angle AYB=\angle AYC'+\angle C'YB=\angle AB'C'+\angle C'A'B=
=(180^{\circ}-\angle C'B'C)+(180^{\circ}-\angle CA'C')=
=360^{\circ}-(\angle C'B'C+\angle CA'C')=
=\angle A'CB'+\angle A'C'B'=\angle ACB+\angle A'C'B'=\angle AXB.
Аналогично \angle BYC=\angle BXC
. Значит, Y
— точка пересечения описанных окружностей треугольников AXB
и BXC
, отличная от B
, т. е. точки X
и Y
совпадают. Отсюда следует решение задачи.
Аналогично для любого расположения точки X
.
Примечание. Рассмотрения случаев можно избежать, рассматривая ориентированные углы (см. задачу 2036).