6686. В равные углы X_{1}OY
и YOX_{2}
вписаны окружности \omega_{1}
и \omega_{2}
, касающиеся сторон OX_{1}
и OX_{2}
в точках A_{1}
и A_{2}
соответственно, а стороны OY
— в точках B_{1}
и B_{2}
. Точка C_{1}
— вторая точка пересечения A_{1}B_{2}
и \omega_{1}
, а точка C_{2}
— вторая точка пересечения A_{2}B_{1}
и \omega_{2}
. Докажите, что C_{1}C_{2}
— общая касательная к окружностям.
Решение. Можно считать, что OA_{2}\gt OA_{1}
. Треугольники OA_{1}B_{2}
и OB_{1}A_{2}
равны по двум сторонам и углу между ними, значит,
\angle OB_{2}A_{1}=\angle OA_{2}B_{1},~\angle OA_{1}B_{2}=\angle OB_{1}A_{2}.
Обозначим \angle A_{1}OB_{1}=\angle B_{2}OA_{2}=\varphi
. Из теоремы об угле между касательной и хордой получаем, что
\angle A_{1}C_{1}B_{1}=\angle AO_{1}B_{1}=90^{\circ}-\frac{\varphi}{2},
\angle B_{1}C_{2}B_{2}=180^{\circ}-\angle A_{2}C_{2}B_{2}=180^{\circ}-(180^{\circ}-\angle OB_{2}A_{2})=\angle OB_{2}A_{2}=\left(90^{\circ}+\frac{\varphi}{2}\right)=\angle A_{1}C_{1}B_{1}.
Значит,
\angle B_{1}C_{1}B_{2}=180^{\circ}-\angle A_{1}C_{1}B_{1}=180^{\circ}-\angle B_{1}C_{2}B_{2}.
Следовательно, четырёхугольник B_{2}C_{2}B_{1}C_{1}
вписанный.
Пусть P
— точка пересечения C_{1}C_{2}
и OA_{2}
. Тогда
\angle PC_{2}A_{2}=\angle B_{1}C_{2}C_{1}=\angle B_{1}B_{2}C_{1}=\angle OA_{2}C_{2}=\angle A_{2}B_{2}C_{2}.
Следовательно, C_{1}C_{2}
— касательная к окружности \omega_{2}
(см. задачу 144). Аналогично C_{1}C_{2}
— касательная к окружности \omega_{1}
.
Примечание. Другое решение можно получить, заметив, что из равенства треугольников OA_{1}B_{2}
и OA_{2}B_{1}
следует, что A_{1}B_{2}=A_{2}B_{1}
, а затем применив теорему о секущей и касательной:
B_{1}C_{2}\cdot B_{1}A_{2}=B_{1}B_{2}^{2}=B_{2}C_{1}\cdot B_{2}A_{1},
откуда B_{2}C_{1}=B_{1}C_{2}
. Теперь, поскольку четырёхугольник B_{1}C_{2}B_{2}C_{1}
вписанный, он является равнобокой трапецией и, следовательно, симметричен относительно линии центров наших окружностей.