6690. Для каждой вершины треугольника ABC
нашли угол между высотой и биссектрисой, проведёнными из этой вершины. Оказалось, что эти углы в вершинах A
и B
равны друг другу и меньше, чем угол в вершине C
. Чему равен угол C
треугольника?
Ответ. 60^{\circ}
.
Указание. См. задачу 1106.
Решение. Угол между биссектрисой и высотой, проведёнными из вершины X
треугольника XYZ
, равен \frac{1}{2}|\angle Y-\angle Z|
(см. задачу 1106). Следовательно, если эти углы при вершинах A
и B
треугольника ABC
равны, то \angle A-\angle C=\angle B-\angle C
или \angle A-\angle C=\angle C-\angle B
.
В первом случае треугольник равнобедренный, а значит, высота и биссектриса, проведённые из вершины C
, совпадают, что противоречит условию. Во втором случае
\angle C=\frac{1}{2}(\angle A+\angle B)=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle C),
откуда находим, что \angle C=60^{\circ}
.
Примечание. Условие задачи выполняется в любом неравностороннем треугольнике ABC
с углом 60^{\circ}
при вершине C
.