6698. Найдите геометрическое место центров всех вневписанных окружностей прямоугольных треугольников, имеющих данную гипотенузу.
Ответ. Большие дуги AB
окружностей, описанных около квадратов ABNM
и ABQP
, за исключением вершин этих квадратов (где AB
— данная гипотенуза).
Решение. Пусть ABC
— прямоугольный треугольник с гипотенузой AB
; I_{a}
, I_{b}
, I_{c}
— центры его вневписанных окружностей. Тогда (см. задачу 4770)
\angle AI_{c}B=90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle ACB=90^{\circ}-45^{\circ}=45^{\circ}.
Поскольку AI_{c}
и AI_{a}
— биссектрисы смежных углов,
\angle I_{a}AI_{c}=90^{\circ},
поэтому
\angle AI_{a}B=\angle AI_{a}I_{c}=90^{\circ}-\angle AI_{c}B=90^{\circ}-45^{\circ}=45^{\circ}
и аналогично \angle AI_{b}B=45^{\circ}
, причём точки I_{a}
, I_{b}
лежат по одну сторону от прямой AB
, а I_{c}
— по другую. Следовательно, точки I_{a}
и I_{b}
лежат на дуге AB
окружности \omega_{1}
, из каждой точки которой хорда AB
видна под углом 45^{\circ}
, а точка I_{c}
— на такой же дуге окружности \omega_{2}
.
Пусть прямые k
и l
проходят соответственно через A
и B
перпендикулярно AB
и пересекают окружность \omega_{1}
в точках M
и N
соответственно, а окружность \omega_{2}
— в точках P
и Q
соответственно. Возьмём на меньшей дуге PQ
окружности \omega_{2}
произвольную точку I_{c}
отличную от P
и Q
. Тогда продолжения отрезков I_{c}A
(за точку A
) и I_{c}B
(за точку B
) пересекают меньшие дуги AM
и BN
окружности \omega_{1}
в точках I_{b}
и I_{a}
соответственно. Докажем, что найдётся такая точка C
, что \angle ACB=90^{\circ}
, а точки I_{a}
, I_{b}
и I_{c}
— центры вневписанных окружностей треугольника ABC
.
Поскольку
\angle AI_{a}I_{c}=\angle AI_{a}B=45^{\circ}~\mbox{и}~\angle AI_{c}I_{a}=\angle AI_{c}B=45^{\circ},
то \angle I_{a}AI_{c}=90^{\circ}
, т. е. I_{a}A
— высота треугольника I_{a}I_{b}I_{c}
. Аналогично I_{b}B
— также высота этого треугольника. Пусть прямая, проходящая через точку I_{c}
и точку пересечения I_{a}A
и I_{b}B
, пересекает I_{a}I_{b}
в точке C
. Тогда I_{c}C
— третья высота треугольника I_{a}I_{b}I_{c}
.
Треугольник ABC
— ортотреугольник остроугольного треугольника I_{a}I_{b}I_{c}
, поэтому, во-первых, AI_{a}
, BI_{b}
, CI_{c}
— биссектрисы углов треугольника ABC
(см. задачу 533), во-вторых,
\angle ACB=180^{\circ}-\angle ACI_{b}-\angle BCI_{a}=180^{\circ}-\angle I_{a}I_{c}I_{b}-\angle I_{a}I_{c}I_{b}=180^{\circ}-2\cdot45^{\circ}=90^{\circ}
(см. задачу 141), в-третьих, каждая из точек I_{a}
, I_{b}
, I_{c}
— точка пересечения биссектрис соответствующих внешних углов треугольника ABC
, т. е. центр вневписанной окружности.
Ясно, что для любой точки I_{c}
, не лежащей на меньшей дуге окружности \omega_{2}
, продолжение отрезка I_{c}A
(либо I_{c}B
) не пересекает меньшую дугу BN
(или меньшую дугу AM
) окружности \omega_{1}
.
Аналогично, если в качестве первой точки взять точку I_{b}
, лежащую на меньшей дуге AM
окружности \omega_{1}
, или точку I_{a}
, лежащую на меньшей дуге MN
этой окружности.
То же самое, если поменять местами окружности \omega_{1}
и \omega_{2}
.
Таким образом, искомое ГМТ есть фигура, состоящая из двух больших дуг AB
окружностей \omega_{1}
и \omega_{2}
, описанных около квадратов ABNM
и ABQP
, за исключением вершин этих квадратов.