6704. Дан треугольник ABC
. На его сторонах AB
и BC
построены внешним образом квадраты ABMN
и BCPQ
. Докажите, что центры этих квадратов и середины отрезков MQ
и AC
образуют квадрат.
Указание. С помощью поворота докажите, что AQ=MC
и AQ\perp MC
.
Решение. Пусть O_{1}
и O_{2}
— центры квадратов ABMN
и BCPQ
, X
и Y
— середины отрезков MQ
и AC
соответственно. При повороте на угол 90^{\circ}
вокруг точки B
, переводящем точку M
в точку A
, точка C
переходит в точку Q
, а отрезок MC
— в отрезок AQ
. Следовательно, MC=AQ
и MC\perp AQ
.
Точки O_{1}
, X
, O_{2}
и Y
— середины сторон четырёхугольника AMQC
. Поэтому O_{1}XO_{2}Y
— параллелограмм (см. задачу 1204),
XO_{2}=O_{1}Y=\frac{1}{2}MC,~O_{1}X=YO_{2}=\frac{1}{2}AQ,
XO_{2}\parallel O_{1}Y\parallel MC,~O_{1}X\parallel YO_{2}\parallel AQ.
Следовательно, O_{1}XO_{2}Y
— квадрат.