6704. Дан треугольник
ABC
. На его сторонах
AB
и
BC
построены внешним образом квадраты
ABMN
и
BCPQ
. Докажите, что центры этих квадратов и середины отрезков
MQ
и
AC
образуют квадрат.
Указание. С помощью поворота докажите, что
AQ=MC
и
AQ\perp MC
.
Решение. Пусть
O_{1}
и
O_{2}
— центры квадратов
ABMN
и
BCPQ
,
X
и
Y
— середины отрезков
MQ
и
AC
соответственно. При повороте на угол
90^{\circ}
вокруг точки
B
, переводящем точку
M
в точку
A
, точка
C
переходит в точку
Q
, а отрезок
MC
— в отрезок
AQ
. Следовательно,
MC=AQ
и
MC\perp AQ
.
Точки
O_{1}
,
X
,
O_{2}
и
Y
— середины сторон четырёхугольника
AMQC
. Поэтому
O_{1}XO_{2}Y
— параллелограмм (см. задачу 1204),
XO_{2}=O_{1}Y=\frac{1}{2}MC,~O_{1}X=YO_{2}=\frac{1}{2}AQ,

XO_{2}\parallel O_{1}Y\parallel MC,~O_{1}X\parallel YO_{2}\parallel AQ.

Следовательно,
O_{1}XO_{2}Y
— квадрат.
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — Ч. 2. — М.: Наука, 1991. — № 18.7, с. 69
Источник: Готман Э. Г., Скопец З. А. Решение геометрических задач аналитическим методом: Пособие для учащихся 9—10 кл. — М.: Просвещение, 1979. — № 417(а), с. 65
Источник: Мерзляк А. Г., Поляков В. М. Геометрия. 9 класс. Углублённый уровень. — М.: Вентана-Граф, 2020. — № 22.35, с. 206
Источник: Понарин Я. П. Элементарная геометрия. — Т. 1: Планиметрия, преобразования плоскости. — М.: МЦНМО, 2004. — № 1.99, с. 180