6735. Даны две пересекающиеся окружности с центрами O_{1}
, O_{2}
. Постройте окружность, касающуюся одной из них внешним, а другой внутренним образом, и центр которой удалён от прямой O_{1}O_{2}
на наибольшее расстояние.
Указание. См. задачу 6734.
Решение. Пусть O
и r
— центр и радиус некоторой окружности, касающейся данных; r_{1}
и r_{2}
— радиусы данных окружностей. Тогда либо OO_{1}=r_{1}-r
и OO_{2}=r_{2}+r
, либо OO_{1}=r_{1}+r
и OO_{2}=r_{2}-r
, и в обоих случаях OO_{1}+OO_{2}=r_{1}+r_{2}
. Следовательно, среди всех точек, удовлетворяющих этому условию, надо найти наиболее удалённую от прямой O_{1}O_{2}
.
Наибольшую высоту среди всех треугольников с данными одной стороной и суммой двух других имеет равнобедренный (см. задачу 6734). Отсюда получаем, что центр искомой окружности лежит на равных расстояниях \frac{r_{1}+r_{2}}{2}
от точек O_{1}
и O_{2}
, а её радиус равен \frac{|r_{1}-r_{2}|}{2}
.
Автор: Волчкевич М. А.
Источник: Олимпиада по геометрии им. И. Ф. Шарыгина. — 2009, V, финальный тур, № 7, 9 класс