6748. Постройте треугольник, если даны его центр тяжести (точка пересечения медиан) и основания высоты и биссектрисы, проведённых к одной стороне.
Решение. Пусть C_{1}
и C_{2}
— основания биссектрисы и высоты, проведённых из вершины C
треугольника ABC
, а M
— точка пересечения его медиан. Очевидно, вершина C
лежит на перпендикуляре, восставленном из C_{2}
к прямой C_{1}C_{2}
.
Кроме того, проекция точки M
на этот перпендикуляр делит высоту треугольника в отношении 2:1
, что позволяет построить точку C
, а также середину C_{0}
стороны AB
как пересечение прямых CM
и C_{1}C_{2}
.
Пусть C'
— точка пересечения прямой CC_{1}
и перпендикуляра l
к прямой C_{1}C_{2}
, проведённого из C_{0}
. Точка C'
лежит на описанной окружности треугольника ABC
(см. замечание к задаче 430), следовательно, серединный перпендикуляр к CC'
пересекает прямую l
в центре O
этой окружности. Построив окружность, мы найдём вершины A
, B
как точки её пересечения с прямой C_{1}C_{2}
.