6752. Пусть ABC
— прямоугольный треугольник (\angle C=90^{\circ}
), CD
— высота, K
— точка плоскости, причём AK=AC
. Докажите, что диаметр описанной окружности треугольника ABK
, проходящий через вершину A
, перпендикулярен прямой DK
.
Решение. Рассмотрим случай, изображённый на рисунке (угол AKB
— острый).
Поскольку CD
— высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, AK^{2}=AC^{2}=AB\cdot AD
(см. задачу 2728), откуда \frac{AK}{AB}=\frac{AD}{AK}
. Значит, треугольники ABK
и AKD
подобны, поэтому \angle AKB=\angle ADK
.
Пусть AA_{1}
— диаметр описанной окружности треугольника ABK
. Тогда
\angle BAA_{1}+\angle ADK=\angle BAA_{1}+\angle AKB=
=(90^{\circ}-\angle AA_{1}B)+\angle AKB=(90^{\circ}-\angle AKB)+\angle AKB=90^{\circ}.
Следовательно, AA_{1}\perp DK
.
Аналогично для остальных случаев.