6753. В треугольнике ABC
проведены биссектрисы AA'
, BB'
и CC'
. Пусть отрезки A'B'
и CC'
пересекаются в точке P
, а отрезки A'C'
и BB'
— в точке Q
. Докажите, что \angle PAC=\angle QAB
.
Решение. Применяя теорему синусов к треугольникам AC'Q
и AA'Q
, получаем, что
\frac{\sin\angle C'AQ}{C'Q}=\frac{\sin\angle AQC'}{AC'},~\frac{\sin\angle A'AQ}{A'Q}=\frac{\sin\angle AQA'}{AA'}=\frac{\sin\angle AQC'}{AA'},
откуда
\frac{\sin\angle C'AQ}{\sin\angle A'AQ}=\frac{C'Q}{A'Q}\cdot\frac{AA'}{AC'}=\frac{BC'}{BA'}\cdot\frac{AA'}{AC'}
(\frac{C'Q}{A'Q}=\frac{BC'}{BA'}
по свойству биссектрисы BQ
треугольника A'BC'
).
Аналогично
\frac{\sin\angle B'AP}{\sin\angle A'AP}=\frac{CB'}{CA'}\cdot\frac{AA'}{AB'}.
Из теоремы Чевы следует, что
\frac{BC'}{BA'}\cdot\frac{AA'}{AC'}=\frac{CB'}{CA'}\cdot\frac{AA'}{AB'},
поэтому
\frac{\sin\angle C'AQ}{\sin\angle A'AQ}=\frac{\sin\angle B'AP}{\sin\angle A'AP}
Следовательно (см. задачу 2300), \angle PAC=\angle QAB
.