6756. Постройте треугольник, если даны центр вписанной в него окружности, середина одной из сторон и основание опущенной на эту сторону высоты.
Решение. Пусть M
и H
— основания медианы и высоты, проведённых из вершины C
треугольника ABC
, I
— центр вписанной окружности, P
и Q
— точки касания соответственно вписанной и вневписанной окружностей со стороной AB
, K
— точка на вписанной окружности, диаметрально противоположная P
.
Из гомотетии, переводящей вписанную окружность во вневписанную, получаем, что C
, K
, Q
лежат на одной прямой. Поскольку MP=MQ
(см. задачу 4805), отрезок IM
— средняя линия треугольника PKQ
, поэтому IM\parallel CQ
.
Отсюда вытекает следующее построение: последовательно восстанавливаем прямую AB
(т. е. MH
); вписанную окружность и точку P
; точки Q
и K
— как симметричные P
относительно M
и I
соответственно; вершину C
— как пересечение перпендикуляра к AB
в точке H
и прямой QK
; точки A
и B
— как пересечения касательных к вписанной окружности, проведённых из точки C
.
Автор: Заславский А. А.
Источник: Олимпиада по геометрии им. И. Ф. Шарыгина. — 2007, III, финальный тур, № 5, 9 класс