6758. а) Даны два квадрата ABCD
и DEAF
, причём точка E
лежит на отрезке CD
, а точки P
и G
— вне квадрата ABCD
. Найдите угол между прямыми AE
и BP
.
б) Даны два правильных пятиугольника OKLMN
и OPRST
, причём точка P
лежит на отрезке ON
, а точки R
, B
, T
— вне пятиугольника OKLMN
. Найдите угол между прямыми KP
и MS
.
Ответ. а) 45^{\circ}
;
б) 72^{\circ}
.
Решение. а) См. задачу 479.
б) Пусть H
— вторая точка пересечения описанных около пятиугольников окружностей. Поскольку
\angle KHM=\frac{1}{2}\smile KLM=\frac{1}{2}\cdot2\cdot72^{\circ}=72^{\circ}
и
\angle SHP=\frac{1}{2}\smile PST=\frac{1}{2}\cdot3\cdot72^{\circ}=108^{\circ},
то \angle KHM+\angle SHP=180^{\circ}
. Значит, точки M
, H
и S
лежат на одной прямой. Аналогично точки K
, H
и P
лежат на одной прямой. Следовательно, искомый угол — это угол KHM
, а \angle KHM=72^{\circ}
.