6772. Даны две прямые a
и b
, а также точки A
и B
. Точка X
скользит по прямой a
, а точка Y
по прямой b
, причём AX\parallel BY
. Найдите геометрическое место точек пересечения AY
с XB
.
Ответ. Прямая, проходящая через такие точки U
и V
прямых a
и b
соответственно, что AY\parallel b
и BV\parallel a
.
Указание. См. задачу 5000.
Решение. Проведём через точку A
прямую, параллельную прямой b
и пересекающую прямую a
а в точке U
. Аналогично, проведём через точку B
прямую, параллельную прямой a
и пересекающую прямую b
в точке V
. Для любых удовлетворяющих условию точек X
и Y
соответствующие стороны треугольников AUX
и YUB
параллельны. Значит, эти треугольники гомотетичны (см. задачу 5000). Следовательно, прямые AY
и BX
пересекаются в центре гомотетии, лежащем на прямой UV
.
Очевидно, что так можно получить любую точку прямой UV
.
Автор: Акопян А. В.
Источник: Олимпиада по геометрии им. И. Ф. Шарыгина. — 2006, II, заочный тур, № 13