6775. На сторонах треугольника ABC
построены во внешнюю сторону правильные треугольники. Оказалось, что их вершины образуют правильный треугольник. Верно ли, что исходный треугольник — правильный?
Ответ. Верно.
Решение. Пусть ABC'
, ACB'
и BCA'
— указанные в условии равносторонние треугольники.
Предположим противное. Тогда один из углов треугольника ABC
, например, угол A
, больше 60^{\circ}
. Тогда луч B'C'
лежит вне угла AB'C
, а так как
\angle A'B'C'=\angle AB'C=60^{\circ},
то луч B'A'
проходит между сторонами угла AB'C
, и значит, пересекает отрезок AC
с концами на его сторонах. Тогда луч A'B'
проходит между сторонами угла AA'C
.
Следовательно, \angle AA'B'\lt\angle AA'C
. Аналогично, луч A'C'
проходит между сторонами угла AA'B
, и \angle AA'C\lt\angle AA'B
.
Поскольку из вершины A
отрезок BC
виден под углом, большим 60^{\circ}
, точка A
лежит внутри сегмента окружности с хордой BC
, дуга которого вмещает 240^{\circ}
. Прямые A'C
и A'B
— касательные к этой окружности (см. задачу 144), поэтому луч A'A
пересекает отрезок BC
, а значит, проходит между сторонами угла BA'C
. Следовательно,
\angle B'A'C'=\angle AA'B'+\angle AA'C'\lt\angle AA'C+\angle AA'B=\angle BA'C=60^{\circ},
что противоречит условию.