6780. ABCD
— вписанный четырёхугольник, AB\gt CD
, BC\gt AD
. На сторонах AB
и BC
отмечены точки X
и Y
так, что AX=CD
и AD=CY
; M
— середина XY
. Докажите, что угол AMC
— прямой.
Указание. См. задачи 4504 и 1188.
Решение. Обозначим \angle ABC=\alpha
, AX=CD=a
, CY=AD=b
. Поскольку четырёхугольник ABCD
вписанный, \angle ADC=180^{\circ}-\alpha
.
Пусть N
— середина диагонали AC
. Тогда
\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{XA}+\overrightarrow{YC})
(см. задачу 4504). Значит,
MN=\sqrt{\overrightarrow{MN}^{2}}=\sqrt{\frac{1}{4}(XA^{2}+YC^{2}+2\overrightarrow{XA}\cdot\overrightarrow{YC})}=\frac{1}{2}\sqrt{a^{2}+b^{2}+2ab\cos\alpha}.
В то же время,
AC=\sqrt{DC^{2}+DA^{2}-2DC\cdot DA\cos(180^{\circ}-\alpha)}=\sqrt{a^{2}+b^{2}+2ab\cos\alpha}=2MN.
Медиана MN
треугольника AMC
равна половине стороны AC
, следовательно, \angle AMC=90^{\circ}
(см. задачу 1188).
Источник: Олимпиада «Курчатов». — 2014-2015, заключительный этап, задача 4, 11 класс