6783. Точки O
и I
— центры описанной и вписанной окружностей неравнобедренного треугольника ABC
. Две равные окружности касаются сторон AB
, BC
и AC
, BC
соответственно; кроме этого они касаются друг друга в точке K
. Оказалось, что точка K
лежит на прямой OI
. Найдите \angle BAC
.
Ответ. 90^{\circ}
.
Решение. Пусть I_{b}
и I_{c}
— центры равных окружностей, вписанных в углы B
и C
соответственно. Биссектрисы BI_{b}
и CI_{c}
углов B
и C
пересекаются в точке I
, а I_{b}I_{c}\parallel BC
, поэтому треугольники I_{b}II_{c}
и BIC
подобны. Продолжение медианы IK
треугольника I_{b}II_{c}
пересекает сторону BC
в её середине M
(см. задачу 2607). По условию точка O
лежит прямой IM
.
Точки O
и M
равноудалены от концов отрезка BC
. Если они различны, то прямая OM
— серединный перпендикуляр к отрезку BC
, а значит, и к отрезку I_{b}I_{c}
. Тогда треугольник I_{b}II_{c}
равнобедренный. Значит, треугольник BIC
также равнобедренный, а так как углы B
и C
треугольника ABC
вдвое больше углов при вершинах I_{b}
и I_{c}
треугольника I_{b}II_{c}
, то треугольник ABC
равнобедренный, что противоречит условию задачи. Следовательно, точки O
и M
совпадают. Тогда середина стороны BC
треугольник ABC
— центр описанной окружности этого треугольника, поэтому \angle BAC=90^{\circ}
.
Автор: Евдокимов М. А.
Источник: Московская математическая олимпиада. — 2015, LXXVIII, 9 класс