6789. Дана окружность радиуса 5. Точка K
делит диаметр AD
в отношении 1:4
, считая от точки D
. Через точку K
проведена хорда BC
перпендикулярно диаметру AD
. На меньшей дуге AB
окружности взята точка M
.
а) Докажите, что BM\cdot CM\lt AB^{2}
.
б) Найдите площадь четырёхугольника ACBM
, если дополнительно известно, что площадь треугольника BCM
равна 24.
Ответ. 44.
Решение. а) Диаметр AD
— серединный перпендикуляр к хорде BC
, поэтому AC=AB
. Вписанные углы BMC
и BAC
опираются на одну и ту же дугу, поэтому \angle BMC=\angle BAC
. Расстояние от точки M
, лежащей на меньшей дуге AB
окружности, до хорды BC
меньше расстояния от точки A
до этой хорды, т. е. высота MH
треугольника BMC
меньше высоты AK
треугольника ABC
, а так как у этих треугольников общее основание BC
, то S_{\triangle BMC}\lt S_{\triangle ABC}
, или
\frac{1}{2}BM\cdot CM\sin\angle BMC\lt\frac{1}{2}AB\cdot BC\sin\angle BAC=\frac{1}{2}AB^{2}\sin BMC.
Отсюда получаем, что BM\cdot CM\lt AB^{2}
.
б) Положим DK=x
, AK=4x
. Из равенства x+4x=10
находим, что DK=x=2
, AK=2x=8
.
Точка B
лежит на окружности с диаметром AD
, поэтому \angle ABD=90^{\circ}
(рис. 1). Отрезок BK
— высота прямоугольного треугольника ABD
, проведённая из вершины прямого угла, значит,
BK=\sqrt{DK\cdot AK}=\sqrt{2\cdot8}=4,~AB\sqrt{AK\cdot AD}=\sqrt{8\cdot10}=4\sqrt{5},~
BD=\sqrt{DK\cdot AD}=\sqrt{2\cdot10}=2\sqrt{5}.
(см. задачу 2728).
По условию задачи S_{\triangle BCM}=24
, или \frac{1}{2}BC\cdot MH=24
, откуда MH=\frac{2\cdot24}{8}=6
.
Пусть P
— проекция центра O
окружности на прямую MH
. Тогда OPHK
— прямоугольник, поэтому
PH=OK=OD-DK=5-2=3,~MP=MH-PH=6-3=3,
т. е. P
— середина отрезка MH
. В то же время, точка P
— середина хорды MB_{1}
, где B_{1}
— точка пересечения прямой MH
с окружностью (см. задачу 1676). Значит, B_{1}
совпадает с точкой H
, лежащей на прямой BC
. Следовательно, точки B_{1}
и H
совпадают с точкой B
(рис. 2), т. е. \angle MBC=90^{\circ}
. Тогда MC
— диаметр окружности, \angle MAC=90^{\circ}
, а так как AM=BD=2\sqrt{5}
, то
S_{\triangle CAM}=\frac{1}{2}AC\cdot AM=\frac{1}{2}\cdot4\sqrt{5}\cdot2\sqrt{5}=20,
S_{ACBM}=S_{\triangle BCM}+S_{\triangle CAM}=24+20=44.