6792. Найдите центр тяжести проволочного треугольника (центр тяжести периметра треугольника).
Ответ. Центр окружности, вписанной в треугольник, вершины которого — середины сторон данного треугольника.
Решение. Пусть A_{1}
, B_{1}
и C_{1}
— середины сторон соответственно BC=a
, AC=b
и AB=c
треугольника ABC
.
Центр тяжести стороны треугольника совпадает с её серединой. Разместим в точках A_{1}
, B_{1}
, C_{1}
массы, пропорциональные величинам a
, b
и c
соответственно. Найдём центр масс системы из трёх полученных материальных точек. Для этого соединим точку A_{1}
с точкой A_{2}
отрезка B_{1}C_{1}
, которая делит этот отрезок в отношении
B_{1}A_{2}:A_{2}C_{1}=A_{1}B_{1}:A_{1}C_{1}=\left(\frac{c}{2}\right):\left(\frac{b}{2}\right)=c:b,
т. е. с основанием биссектрисы треугольника A_{1}B_{1}C_{1}
(см. задачу 1510). Аналогично построим точки B_{2}
и C_{2}
— основания двух других биссектрис треугольника A_{1}B_{1}C_{1}
.
Искомый центр тяжести совпадает с центром тяжести системы из трёх рассматриваемых материальных точек, т. е. с точкой пересечения биссектрис треугольника A_{1}B_{1}C_{1}
.
Примечание. Эта точка называется точкой Шпикера.