6799. Пусть A_{1}
, B_{1}
, C_{1}
, D_{1}
, E_{1}
, F_{1}
— середины сторон соответственно AB
, BC
, CD
, DE
, EF
, FA
произвольного шестиугольника ABCDEF
. Докажите, что точки пересечения медиан треугольников A_{1}C_{1}E_{1}
и B_{1}D_{1}F_{1}
совпадают.
Решение. Поместим в вершины шестиугольника единичные массы. Пусть M
— центр масс системы материальных точек A
, B
, C
, D
, E
, F
. Точки A_{1}
, C_{1}
, E_{1}
— центры масс пар точек соответственно A
и B
, C
и D
, E
и F
. Поместив в вершины треугольника A_{1}C_{1}E_{1}
массы 2, получим, что точка пересечения медиан этого треугольника совпадает с M
(см. задачи 6797 и 1207). Аналогично для треугольника B_{1}D_{1}F_{1}
.