6815. В треугольнике ABC
точки M
и N
— середины сторон AC
и BC
соответственно. Известно, что точка пересечения медиан треугольника AMN
является точкой пересечения высот треугольника ABC
. Найдите угол ABC
.
Ответ. 45^{\circ}
.
Решение. Пусть H
— ортоцентр (точка пересечения высот) треугольника ABC
. Тогда высота AT
треугольника ABC
содержит медиану треугольника AMN
, т. е. пересекает отрезок MN
в его середине — точке E
. Далее можно рассуждать по-разному.
Первый способ. Поскольку MN\parallel AB
, треугольники ETN
и ATB
подобны, следовательно,
\frac{TN}{TB}=\frac{TE}{TA}=\frac{EN}{AB}=\frac{\frac{1}{2}MN}{AB}=\frac{\frac{1}{4}AB}{AB}=\frac{1}{4}.
Пусть TN=x
, TE=y
. Тогда
BN=3x,~AE=3y,~CT=CN-TN=2x,~EH=\frac{1}{3}AE=y
(по свойству точки пересечения медиан треугольника).
Поскольку \frac{CT}{BT}=\frac{2x}{4x}=\frac{1}{2}
и \frac{HT}{AT}=\frac{2y}{4y}=\frac{1}{2}
, прямоугольные треугольники CTH
и BTA
подобны. Следовательно, \angle TCH=\angle NBA
. Но CH
— часть высоты CQ
треугольника ABC
, поэтому эти равные углы являются острыми углами прямоугольного треугольника CQB
, т. е. каждый из них равен 45^{\circ}
.
Второй способ. Отметим точку K
— середину стороны AB
. Тогда AMNK
— параллелограмм, его диагональ MK
проходит через середину AN
(т. е. лежит на медиане треугольника AMN
), поэтому она проходит и через точку H
.
Поскольку MH\parallel BC
, треугольники EMH
и ENT
равны (по стороне и двум прилежащим углам), значит, EH=ET
. Медиана CK
треугольника ABC
проходит через точку E
и делится в ней пополам, поэтому CHKT
— параллелограмм. Следовательно, TK\parallel CH
. Но CH
— часть высоты CQ
треугольника ABC
, поэтому TK\perp AB
. Таким образом, TK
является высотой и медианой прямоугольного треугольника ATB
, значит, этот треугольник равнобедренный. Следовательно, \angle ABC=45^{\circ}
.
Примечание. Существуют и другие способы решения. В частности, несложно доказать, что в данном треугольнике прямая Эйлера OH
(O
— центр описанной окружности треугольника ABC
) параллельна AB
. Тогда выполняется равенство \tg\angle A\cdot\tg\angle B=3
(см. задачу 4891). Используя этот факт и некоторые дополнительные соображения, которые следуют из условия задачи, можно вычислить не только угол ABC
, но и остальные углы данного треугольника.