6828. Окружность, вписанная в треугольник ABC
, касается сторон BC
и AC
в точках M
и N
соответственно, P
и Q
— середины сторон соответственно AB
и AC
. Прямые MN
и PQ
пересекаются в точке D
.
а) Докажите, что треугольник DQN
равнобедренный.
б) Найдите площадь треугольника BPD
, если AB=12
и \angle ABC=30^{\circ}
.
Ответ. 9.
Решение. а) Поскольку CN=CM
(отрезки касательных, проведённых к окружности из одной точки), треугольник MCN
равнобедренный, а так как PQ\parallel BC
(как средняя линия треугольника ABC
), то треугольник DQN
подобен ему по двум углам, следовательно, треугольник DQN
также равнобедренный, QN=QD
.
б) Обозначим BC=a
, AC=b
, AB=c
, p
— полупериметр треугольника ABC
. Пусть c\gt a
. Тогда
BP=\frac{c}{2},~CQ=\frac{b}{2},CN=CM=p-c=\frac{a+b-c}{2}
(см. задачу 219),
QD=QN=CQ-CN=\frac{b}{2}-\frac{a+b-c}{2}=\frac{c-a}{2}.
Значит,
PD=PQ+QD=\frac{a}{2}+\frac{c-a}{2}=\frac{c}{2}=BP,
т. е. треугольник BPD
равнобедренный. Аналогично для c\leqslant a
.
Поскольку прямые PD
и BC
параллельны,
\angle BPD=180^{\circ}-\angle ABC=180^{\circ}-30^{\circ}=150^{\circ}.
Следовательно,
S_{\triangle BPD}=\frac{1}{2}BP\cdot PD\sin150^{\circ}=\frac{1}{2}\cdot6\cdot6\cdot\frac{1}{2}=9.