6829. В остроугольном треугольнике ABC
проведены высоты BB_{1}
и CC_{1}
. Прямые B_{1}C_{1}
и BC
пересекаются в точке P
.
а) Докажите, что треугольники PBC_{1}
и PB_{1}C
подобны.
б) Найдите расстояние от вершины A
до точки пересечения высот треугольника ABC
, если BP=BB_{1}
, \angle ABC=80^{\circ}
, BC=2\sqrt{3}
, а точка B
лежит между C
и P
.
Ответ. 6.
Решение. а) Поскольку
\angle BC_{1}P=\angle AC_{1}B_{1}=\angle ACB=\angle PCB_{1}
(см. задачу 141), треугольники PBC_{1}
и PB_{1}C
с общим углом при вершине P
подобны по двум углам.
б) Из прямоугольного треугольника BC_{1}C
находим, что
\angle BCC_{1}=90^{\circ}-\angle ABC=90^{\circ}-80^{\circ}=10^{\circ}.
Точки B_{1}
и C_{1}
лежат на окружности с диаметром BC
. Вписанные в эту окружность углы BCC_{1}
и BB_{1}C_{1}
опираются на одну и ту же дугу, поэтому, учитывая, что треугольник PBB_{1}
равнобедренный, а ABC
— внешний угол треугольника BPC_{1}
, находим, что
\angle ACB=\angle AC_{1}B_{1}=\angle BC_{1}P=\angle ABC-\angle BPC_{1}=80^{\circ}-10^{\circ}=70^{\circ}.
Тогда
\angle BAC=180^{\circ}-80^{\circ}-70^{\circ}=30^{\circ}.
Пусть H
— точка пересечения высот треугольника ABC
, O
— центр окружности, описанной около этого треугольника, M
— основание перпендикуляра, опущенного из точки O
на сторону BC
. Тогда угол при вершине O
равнобедренного треугольника BOC
— центральный угол описанной окружности треугольника ABC
, а BAC
— соответствующий ему вписанный угол. Треугольник ABC
остроугольный, поэтому
\angle BOM=\frac{1}{2}\angle BOC=\frac{1}{2}\cdot2\angle BAC=30^{\circ}.
Расстояние от вершины треугольника до точки пересечения высот вдвое больше расстояния от центра описанной окружности до противоположной стороны (см. задачу 1257), следовательно
AH=2OM=2BM\ctg\angle BOM=2\cdot\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}=6.