6835. Дан прямой угол с вершиной D
. Окружность касается одной его стороны в точке E
и пересекает вторую сторону в точках A
и B
(A
между B
и D
). В окружности проведён диаметр AC
.
а) Докажите, что отрезок BC
вдвое больше отрезка DE
.
б) Найдите расстояние от точки E
до прямой AC
, если AD=2
и AB=6
.
Ответ. 4.
Решение. а) Точка B
лежит на окружности с диаметром AC
, значит, BC\perp BD
. Тогда BC\parallel DE
. Пусть O
— центр окружности, Q
— точка пересечения прямых OE
и BC
. Тогда Q
— середина BC
(см. задачу 1676), а четырёхугольник BQED
— прямоугольник. Следовательно, BC=2BQ=2DE
.
б) По теореме о касательной и секущей
DE^{2}=AD\cdot(AD+AB)=2(2+6)=16.
По теореме Пифагора
AE^{2}=AD^{2}+DE^{2}=4+16=20,
а так как AC
— диаметр окружности, то \angle AEC=90^{\circ}
, поэтому
AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}=AB^{2}+4DE^{2}=36+4\cdot16=100,
CE=\sqrt{AC^{2}-AE^{2}}=\sqrt{100-20}=4\sqrt{5}.
Перпендикуляр EH
, опущенный из точки E
на прямую AC
— высота прямоугольного треугольника AEC
, проведённая из вершины прямого угла, следовательно (см. задачу 1967),
EH=\frac{CE\cdot AE}{AC}=\frac{4\sqrt{5}\cdot2\sqrt{5}}{10}=4.