6837. В треугольнике ABC
провели высоту BH
. Из точки H
на стороны AB
и BC
опустили перпендикуляры HK
и HM
.
1) Докажите, что треугольник MBK
подобен треугольнику ABC
.
2) Найдите отношение, в котором отрезок MK
делит площадь треугольника ABC
, если BH=2
, а радиус описанной окружности треугольника ABC
равен 3.
Ответ. 1:8
.
Решение. а) Из точек K
и M
отрезок BH
виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром BH
. Вписанные в эту окружность углы BKM
и BHM
опираются на одну и ту же дугу, поэтому
\angle BKM=\angle BHM=90^{\circ}-\angle HBM=\angle BCA.
Следовательно, треугольник MBK
подобен треугольнику ABC
по двум углам.
б) Радиус окружности, описанной около треугольника MBK
, равен половине отрезка BH
, т. е. 1, а радиус окружности, описанной около подобного ему треугольника ABC
(см. задачу 19) равен 3, значит, коэффициент подобия равен \frac{1}{3}
. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия, т. е. \frac{1}{9}
. Следовательно, отрезок MK
делит треугольник ABC
на части, площади которых относятся как 1:8
.
Источник: Диагностические и тренировочные задачи ЕГЭ. — 2015
Источник: Гордин Р. К. ЕГЭ 2017. Математика. Геометрия. Стереометрия. Задача 14 (профильный уровень). — М.: МЦНМО, 2017. — № 2, с. 172