6838. В трапеции ABCD
точка E
— середина основания AD
, точка K
— середина боковой стороны AB
. Отрезки CE
и DK
пересекаются в точке O
.
а) Докажите, что четырёхугольник AKOE
и треугольник COD
равновелики.
б) Найдите, какую часть от площади трапеции составляет площадь каждой из указанных фигур, если BC=3
, AD=4
.
Ответ. \frac{2}{9}
.
Решение. а) Треугольники AKD
и DCE
равновелики, так как высота первого из них, проведённая из вершины K
вдвое меньше высоты второго, проведённой из вершины C
, а основание AD
первого вдвое больше основания DE
второго. Треугольник DOE
— общая часть этих равновеликих треугольников. Следовательно, четырёхугольник AKOE
и треугольник COD
равновелики.
б) Пусть площадь трапеции равна S
, а высота равна h
. Тогда
S=\frac{1}{2}(AD+BC)h=\frac{1}{2}(4+3)h=\frac{7}{2}h,~h=\frac{2S}{7},
S_{\triangle DCE}=\frac{1}{2}DE\cdot h=\frac{1}{2}\cdot2\cdot\frac{2S}{7}=\frac{2}{7}S.
Пусть прямые DK
и BC
пересекаются в точке T
. Из равенства треугольников BKT
и AKD
находим, что BT=AD=4
. Из подобия треугольников COT
и EOD
находим, что
\frac{CO}{OE}=\frac{CT}{DE}=\frac{4+3}{2}=\frac{7}{2}.
Значит (см. задачу 3000),
S_{\triangle COD}=\frac{OC}{CE}\cdot S_{\triangle DCE}=\frac{7}{9}\cdot\frac{2}{7}S=\frac{2}{9}S.
Источник: Диагностические и тренировочные задачи ЕГЭ. — 2015
Источник: Гордин Р. К. ЕГЭ 2017. Математика. Геометрия. Стереометрия. Задача 14 (профильный уровень). — М.: МЦНМО, 2017. — № 3, с. 172