6844. Диагональ BD
параллелограмма ABCD
перпендикулярна стороне AB
, M
— середина стороны AD
, прямые BM
и CD
пересекаются в точке K
. В треугольники ABM
и BCK
вписаны окружности с центрами O_{1}
и O_{2}
соответственно.
а) Докажите, что MO_{1}\parallel BD
.
б) Найдите площадь четырёхугольника BO_{1}MO_{2}
, если AB=6
и AD=10
.
Ответ. 11,25.
Решение. а) Треугольники DMK
и AMB
равны по стороне и прилежащим к ней углам, поэтому KD=AB=CD
. Значит, BD
— медиана треугольника BCK
, а так как BD\perp CK
, то треугольник BCK
равнобедренный. Треугольник MAB
подобен ему по двум углам, значит, треугольник MAB
также равнобедренный. Его биссектриса MN
перпендикулярна стороне AB
и проходит через центр O_{1}
вписанной окружности. Значит, MO_{1}\perp AB
, а так как BD\perp AB
, то MO_{1}\parallel BD
.
б) По теореме Пифагора
BD=\sqrt{AD^{2}-AB^{2}}=\sqrt{100-36}=8.
Точка O_{2}
лежит на биссектрисе BD
треугольника BCK
, а так как CO_{2}
— биссектриса треугольника BCD
, то
\frac{O_{2}B}{O_{2}D}=\frac{BC}{CD}=\frac{10}{6}=\frac{5}{3}
(см. задачу 2602). Отсюда находим, что BO_{2}=\frac{5}{8}BD=\frac{5}{8}\cdot8=5
.
Треугольник MAB
подобен треугольнику BCK
с коэффициентом \frac{1}{2}
, поэтому MO_{1}=\frac{1}{2}BO_{2}=\frac{5}{2}
.
Отрезок MN
— высота и медиана равнобедренного треугольника MAB
, поэтому BN=\frac{1}{2}AB=3
, а так как BN
— высота трапеции BO_{1}MO_{2}
, то
S_{BO_{1}MO_{2}}=\frac{1}{2}(BO_{2}+MO_{1})\cdot MN=\frac{1}{2}\left(5+\frac{5}{2}\right)\cdot3=\frac{45}{4}.