6878. Три прямые l_{1}
, l_{2}
и l_{3}
, образующие треугольник, делят плоскость на семь частей. Каждая из точек M_{1}
, M_{2}
и M_{3}
лежит в одном из углов, вертикальных по отношении к какому-то углу треугольника. Расстояния от M_{1}
до прямых l_{1}
, l_{2}
и l_{3}
равны соответственно 7, 3 и 1. Расстояния от M_{2}
до этих же прямых равны соответственно 4, 1 и 3. Для M_{3}
эти расстояния равны соответственно 3, 5 и 2. Чему равен радиус вписанной в треугольник окружности?
Ответ. \frac{1}{9}
.
Решение. Пусть a
, b
и c
— стороны треугольника, лежащие на прямых l_{1}
, l_{2}
и l_{3}
соответственно, S
— площадь треугольника. Для каждой из точек M_{1}
, M_{2}
и M_{3}
расстояние до прямой, содержащей противоположную сторону треугольника, не может быть наименьшим (например, расстояние от точки M
до прямой l_{1}
равно либо 7, либо 3). Это значит, что для M_{1}
будет 2S=7a-3b-c
или 2S=3b-7a-c
. Аналогично, для M_{2}
будет 2S=4a-b-3c
или 2S=3c-4a-b
, а для M_{3}
— 2S=3a-5b-2c
или 2S=5b-3a-2c
. Таким образом возникает 2\cdot2\cdot2=8
вариантов.
Рассмотрим вариант, когда 2S=7a-3b-c
, 2S=3c-4a-b
, 2S=5b-3a-2c
. Вычитая первое равенство из второго и третьего, получаем систему
\syst{11a-2b-4c=0\\10a-8b+c=0,\\}
из которой находим, что c=2a
, b=\frac{3}{2}a
. Тогда
a+b+c=a+\frac{3}{2}a+2a=\frac{9}{2}a,~2S=7a-3b-c=7a-\frac{9}{2}a-2a=\frac{1}{2}a.
Пусть r
— радиус окружности вписанной в треугольник. Тогда (см. задачу 452)
r=\frac{2S}{a+b+c}=\frac{\frac{1}{2}a}{\frac{9}{2}a}=\frac{1}{9}.
Остальные варианты невозможны. Рассмотрим, например, случай, когда 2S=7a-3b-c
, 2S=4a-b-3c
, 2S=-3a+5b-2c
. Вычитая первое равенство из второго и третьего, получаем систему
\syst{3a-2b+2c=0\\10a-8b+c=0,\\}
из которой находим, что c=-\frac{2}{7}a\lt0
, что невозможно. Аналогично для остальных вариантов.
Источник: Соросовская олимпиада. — 1995-1996, II, 1-й тур, 10 класс