6886. Диагонали выпуклого четырёхугольника ABCD
пересекаются в точке M
. В треугольники AMB
, BMC
, CMD
и AMD
вписаны окружности с центрами O_{1}
, O_{2}
, O_{3}
и O_{4}
соответственно.
а) Докажите, что площадь четырёхугольника O_{1}O_{2}O_{3}O_{4}
равна \frac{1}{2}O_{1}O_{3}\cdot O_{2}O_{4}
.
б) Пусть прямая O_{2}O_{4}
пересекает стороны BC
и AD
в точках P
и Q
соответственно. Найдите отношение AQ:QD
, если известно, что около четырёхугольника ABCD
можно описать окружность, а отношение площадей треугольников CMP
и BMP
равно 3:2
.
Ответ. 2:3
.
Указание. См. задачу 6885.
Источник: Диагностические и тренировочные задачи ЕГЭ. — 2015
Источник: Гордин Р. К. ЕГЭ 2017. Математика. Геометрия. Стереометрия. Задача 14 (профильный уровень). — М.: МЦНМО, 2017. — № 7.43.2, с. 74