6891. На сторонах BC
и CD
квадрата ABCD
отмечены точки M
и K
соответственно, причём \angle BAM=\angle CKM=30^{\circ}
. Найдите угол AKD
.
Ответ. 75^{\circ}
.
Решение. Заметим, что
\angle AMB=\angle CMK=\angle AMK=60^{\circ}.
Первый способ. Пусть AH
— высота треугольника AMK
(рис. 1). Прямоугольные треугольники AHK
и ABM
равны по гипотенузе и острому углу, поэтому AH=AB=AD
. Тогда прямоугольные треугольники AKD
и AKH
равны по гипотенузе и катету, значит,
\angle AKD=\angle AKH=\angle AKM.
Следовательно,
\angle AKD=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle CKM)=\frac{1}{2}(180^{\circ}-30^{\circ})=75^{\circ}.
Второй способ. Луч MA
— биссектриса внешнего угла при вершине M
треугольника CMK
, а луч CA
— биссектриса внутреннего угла при вершине C
. Значит, луч KA
— биссектриса внешнего угла треугольника CKM
при вершине K
(см. задачу 1192). Следовательно,
\angle AKD=\frac{1}{2}\angle MKD=\frac{1}{2}(180^{\circ}-30^{\circ})=75^{\circ}.
Третий способ. Обозначим AB=a
. Пусть прямые KM
и AB
пересекаются в точке P
(рис. 2). Тогда
\angle PMB=\angle CMK=\angle AMB=60^{\circ}.
Значит, треугольники PMB
и AMB
равны по катету и прилежащему острому углу. Тогда PB=AB=a
, а так как
AP=2AB=2a,~PM=AM=2BM,~MK=2MC,
то
PK=PM+MK=2BM+2MC=2(BM+MC)=2BC=2a=AP.
Треугольник APK
равнобедренный с углом 30^{\circ}
при вершине P
, поэтому угол при основании равен 75^{\circ}
, т. е. \angle PKA=75^{\circ}
. Следовательно,
\angle AKD=180^{\circ}-\angle CKM-\angle PKA=180^{\circ}-30^{\circ}-75^{\circ}=75^{\circ}.
Примечание. (К первому способу.) Точка H
лежит на отрезке MK
, а не на его продолжении, так как иначе отрезок AH
пересекал бы сторону CD
в некоторой точке X
, но тогда AH\gt AX\gt AD
, что противоречит равенству AH=AD
.
Источник: Всероссийская олимпиада школьников. — 2013-2014, XL, окружной этап, 8 класс
Источник: Избранные задачи окружных олимпиад по математике в Москве / Сост. А. Д. Блинков. — М.: МЦНМО, 2015. — № 8.5, с. 84