6901. Дана окружность \Gamma
с центром O
и диаметром BC
. Пусть A
— такая точка на \Gamma
, что 0^{\circ}\lt\angle AOB\lt120^{\circ}
, а D
— середина дуги AB
, не содержащей C
. Прямая, проходящая через точку O
параллельно DA
, пересекает прямую AC
в точке J
. Серединный перпендикуляр к отрезку OA
пересекает \Gamma
в точках E
и F
. Докажите, что точка J
— центр вписанной окружности треугольника CEF
.
Решение. (Решение А.Бадзяна.) Пусть точки E
и C
лежат по одну сторону от прямой AO
, а радиус окружности равен R
. Точки E
и F
лежат на серединном перпендикуляре к отрезку OA
, поэтому EA=EO=OA=R
и FA=FO=OA=R
. Значит, треугольники AOE
и AOF
равносторонние, \angle AOF=\angle AOE=60^{\circ}
. Вписанные углы ACE
и ACF
опираются на дуги, равные 60^{\circ}
, значит, \angle ACE=\angle ACF=30^{\circ}
. Следовательно, CJ
— биссектриса угла ECF
. Осталось доказать (см. задачу 1140), что EJ
— биссектриса угла CEF
.
Пусть \angle AOB=2\alpha
. Поскольку D
— середина дуги ADB
, луч OD
— биссектриса центрального угла AOB
. Значит, \angle AOD=\alpha
. Из равнобедренного треугольника AOD
находим, что
\angle OAD=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\alpha)=90^{\circ}-\frac{\alpha}{2},
а так как OJ\parallel AD
, то
\angle AOJ=\angle OAD=90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}.
Поскольку AOB
— внешний угол равнобедренного треугольника AOC
, то
\angle OAJ=\angle OAC=\frac{1}{2}\angle AOB=\alpha.
Значит,
\angle AJO=180^{\circ}-\angle OAJ-\angle AOJ=180^{\circ}-\alpha-\left(90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}\right)=90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}=\angle AOJ,
т. е. треугольник AOJ
равнобедренный, AJ=AO=R
.
Точка J
лежит на отрезке AC
, так как
\angle AOJ\lt\angle AOC~\Leftrightarrow~90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}\lt180^{\circ}-2\alpha~\Leftrightarrow~\alpha\lt60^{\circ}~\Leftrightarrow~2\alpha\lt120^{\circ}
(последнее неравенство следует из условия 0^{\circ}\lt\angle AOB\lt120^{\circ}
), при этом AJ=R
.
Отметим на отрезке AC
такую точку T
, что луч ET
— биссектриса угла CEF
. Обозначим \angle CEF=\beta
. Тогда
\angle AET=\angle AEF+\angle FEJ=30^{\circ}+\frac{\beta}{2},
а так как ATE
— внешний угол треугольника CTE
, то
\angle ATE=\angle ACE+\angle CET=\frac{1}{2}\angle AOE+\angle CET=30^{\circ}+\frac{\beta}{2}=\angle AET.
Значит, треугольник AOT
равнобедренный, AT=AO=R=AJ
, поэтому точка J
совпадает с T
. Отсюда следует решение задачи.