6909. Полуокружность \gamma
построена на диаметре AB
. Точка C
лежит на \gamma
и отлична от A
и B
. Ортогональную проекцию C
на AB
обозначим через D
. Рассмотрим три окружности \gamma_{1}
, \gamma_{2}
, \gamma_{3}
, имеющие AB
в качестве общей касательной; из них \gamma_{1}
вписана в треугольник ABC
, \gamma_{2}
и \gamma_{3}
обе касаются отрезка CD
и \gamma
. Докажите, что \gamma_{1}
, \gamma_{2}
, \gamma_{3}
имеют вторую общую касательную.
Указание. См. задачу 5093.
Решение. Пусть O_{1}
, O_{2}
, O_{3}
— центры окружностей \gamma_{1}
, \gamma_{2}
, \gamma_{3}
радиусов r_{1}
, r_{2}
, r_{3}
соответственно; H_{1}
, H_{2}
, H_{3}
— точки касания этих окружностей с AB
, причём окружность \gamma_{1}
вписана в треугольник ABC
. Тогда O_{1}H_{1}=\frac{r_{2}+r_{3}}{2}
(см. задачу 5093).
Предположим, что AC\ne BC
и точка H_{2}
лежит между A
и H_{1}
. Тогда четырёхугольник O_{2}O_{3}H_{3}H_{2}
— прямоугольная трапеция с основаниями O_{2}H_{2}=r_{2}
и O_{3}H_{3}=r_{3}
. Докажем, что точка H_{1}
— середина её боковой стороны H_{2}H_{3}
. Тогда отрезок O_{1}H_{1}
, параллельный основаниям трапеции, равный их полусумме и проходящий через середину H_{2}H_{3}
, будет средней линия трапеции, и поэтому точка O_{1}
будет лежать на боковой стороне O_{2}O_{3}
. Действительно, BH_{2}=BC
и AH_{3}=AC
(см. задачу 5093), а также BH_{1}=p-AC
и AH_{3}=p-BC
, где p
— полупериметр треугольника ABC
(см. задачу 219). Значит,
H_{1}H_{2}=BH_{2}-BH_{1}=BC-(p-AC)=
=BC-\frac{1}{2}(AB+BC-AC)=\frac{1}{2}(AC+BC-AB),
H_{1}H_{3}=AH_{3}-AH_{1}=AC-(p-BC)=
=AC-\frac{1}{2}(AB+AC-BC)=\frac{1}{2}(AC+BC-AB),
т. е. H_{1}H_{2}=H_{1}H_{3}
. Что и требовалось доказать.
Таким образом, точки O_{1}
, O_{2}
, O_{3}
лежат на одной прямой — общей линии l
центров окружностей \gamma_{1}
, \gamma_{2}
, \gamma_{3}
.
При симметрии относительно прямой l
общая касательная AB
этих окружностей переходит во вторую их общую касательную. Отсюда следует утверждение задачи.
Если AC=BC
, то r_{1}=r_{2}=r_{3}
. Тогда окружности \gamma_{1}
, \gamma_{2}
, \gamma_{3}
равны и имеют общую касательную AB
. Следовательно, они имеют вторую общую касательную.