6918. В треугольнике ABC
проведены высоты BM
и CN
, при этом BC=36
, MN=12
. В треугольник вписана окружность с центром O
. Какое наибольшее значение может принимать при данных условиях радиус описанной около треугольника BOC
окружности? При необходимости округлите это число до двух знаков после запятой.
Ответ. 18\sqrt{3}
(31,18).
Указание. См. задачи 4770 и 19.
Решение. Пусть \angle BAC=\alpha
. Поскольку O
— центр вписанной окружности треугольника ABC
, лучи BO
и CO
— биссектрисы углов при вершинах B
и C
этого треугольника. Значит, \angle BOC=90^{\circ}+\frac{\alpha}{2}
(см. задачу 4770).
Пусть R
— радиус описанной окружности треугольника BOC
. По теореме синусов
R=\frac{BC}{2\sin\angle BOC}=\frac{BC}{2\sin\left(90^{\circ}+\frac{\alpha}{2}\right)}=\frac{36}{2\cos\frac{\alpha}{2}}=\frac{18}{\cos\frac{\alpha}{2}}.
Треугольник AMN
подобен треугольнику ABC
с коэффициентом |\cos\alpha|
(см. задачу 19), значит,
|\cos\alpha|=\frac{MN}{BC}=\frac{12}{36}=\frac{1}{3}.
Величина R=\frac{18}{\cos\frac{\alpha}{2}}
принимает наибольшее значение при наименьшем знаменателе, а так как 0^{\circ}\lt\alpha\lt180^{\circ}
, то \cos\frac{\alpha}{2}\gt0
, поэтому
\cos\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{2}}.
Значит, знаменатель \cos\frac{\alpha}{2}
наименьший, если \cos\alpha\lt0
, т. е. \cos\alpha=-\frac{1}{3}
. При этом
\cos\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1-\frac{1}{3}}{2}}=\frac{1}{\sqrt{3}},~R=\frac{18}{\cos\frac{\alpha}{2}}=18\sqrt{3}.
Примечание. В общем виде: если MN=a
и BC=ka
(k\gt1)
, то наибольшее значение радиуса описанной окружности треугольника BOC
равно \frac{ka\sqrt{2k}}{2\sqrt{k-1}}
.
Источник: Математическая олимпиада МГУ «Ломоносов». — 2014-2015, отборочный этап, второй тур, 10-11 классы