6933. Четырёхугольник ABCD
со сторонами AB=40
и CD=10
вписан в окружность. Диагонали AC
и BD
пересекаются в точке K
, причём \angle AKB=60^{\circ}
. Найдите радиус окружности, описанной около четырёхугольника ABCD
.
Ответ. 10\sqrt{7}
.
Указание. Проведите хорду BM
, параллельную диагонали BD
.
Решение. Первый способ. Через вершину B
проведём хорду BM
, параллельную диагонали AC
(рис. 1). Тогда CM=AB=40
(см. задачу 1678) и
\angle MBD=\angle AKB=60^{\circ}.
Сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника BMCD
равна 180^{\circ}
, поэтому
\angle MCD=180^{\circ}-\angle MBD=180^{\circ}-60^{\circ}=120^{\circ}.
По теореме косинусов
DM=\sqrt{CD^{2}+CM^{2}-2CD\cdot CM\cos120^{\circ}}=
=\sqrt{10^{2}+40^{2}-2\cdot10\cdot40\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)}=10\sqrt{1+16+4}=10\sqrt{21}.
Пусть R
— радиус окружности, описанной около четырёхугольника ABCD
(а значит, и около треугольника CMD
). По теореме синусов
R=\frac{DM}{2\sin\angle MCD}=\frac{DM}{2\sin120^{\circ}}=\frac{10\sqrt{21}}{\sqrt{3}}=10\sqrt{7}.
Второй способ. Обозначим \angle ACB=\alpha
, \angle CBD=\beta
(рис. 2). По теореме о внешнем угле треугольника \beta=120^{\circ}-\alpha
. Треугольник CKD
подобен треугольнику BKA
с коэффициентом \frac{CD}{AB}=\frac{10}{40}=\frac{1}{4}
. Значит, \frac{CK}{BK}=\frac{1}{4}
. Применив теорему синусов к треугольнику BCK
, получим, что
\frac{\sin\beta}{\sin\alpha}=\frac{CK}{BK}=\frac{1}{4},~\frac{\sin(120^{\circ}-\alpha)}{\sin\alpha}=\frac{1}{4},~
\frac{\sqrt{3}{2}\cos\alpha-\frac{1}{2}\sin\alpha}{\sin\alpha}=\frac{1}{4},~2\sqrt{3}\cos\alpha-2\sin\alpha=\sin\alpha,~
3\sin\alpha=2\sqrt{3}\cos\alpha,~\tg\alpha=\frac{2}{\sqrt{3}}.
Тогда \cos\alpha=\sqrt{\frac{3}{7}}
, \sin\alpha=\frac{2}{\sqrt{7}}
.
Пусть R
— радиус окружности, описанной около четырёхугольника ABCD
(а значит, и около треугольника ABC
). По теореме синусов
R=\frac{AB}{2\sin\alpha}=\frac{40}{2\cdot\frac{2}{\sqrt{7}}}=10\sqrt{7}.