6941. В треугольнике ABC
биссектриса угла A
делит высоту, проведённую из вершины B
, в отношении 13:12
, считая от точки B
. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC
, если BC=20
.
Ответ. 26.
Решение. Пусть биссектриса угла A
пересекает высоту BH
в точке M
. Тогда AM
— биссектриса прямоугольного треугольника ABH
, и по свойству биссектрисы треугольника
\cos\angle BAC=\cos\angle BAH=\frac{AH}{AB}=\frac{MH}{MB}=\frac{12}{13}
(см. задачу 1509), поэтому \sin\angle BAC=\frac{5}{13}
.
Пусть радиус окружности, описанной около треугольника ABC
, равен R
. Тогда по теореме синусов
R=\frac{BC}{2\sin\angle CAB}=\frac{20}{\frac{5}{13}}=26.