6944. С помощью циркуля и линейки постройте треугольник по периметру и радиусам вписанной и вневписанной окружностей.
Решение. Предположим, что нужный треугольник ABC
построен: 2p
— его периметр, r
— радиус вписанной окружности с центром O
, r_{a}
— радиус вневписанной окружности с центром O_{a}
, касающейся стороны BC
.
Пусть D
и E
— точки касания с прямой AB
вписанной и вневписанной окружностей соответственно. Тогда AE=p
(см. задачу 4805). Отсюда вытекает следующее построение.
Строим прямоугольный треугольник AO_{a}E
по катетам O_{a}E=r_{a}
и AE=p
. С центром O_{a}
проводим окружность радиуса O_{a}E
. На отрезке O_{a}E
откладываем отрезок EF=r
. Через точку F
проводим прямую, параллельную AE
. С центром в точке O
пересечения этой прямой с гипотенузой AO_{a}
проводим окружность радиуса r
. Через точку A
проводим вторую общую внешнюю касательную l
к построенным окружностям. Пусть общая внутренняя их касательная пересекает l
в точке C
, а прямую AE
— в точке B
. Тогда ABC
— искомый треугольник.
Действительно, окружность с центром O
радиуса r
— его вписанная окружность, окружность с центром O_{a}
радиуса r_{a}
— его вневписанная окружность, касающаяся стороны BC
, а периметр треугольника равен 2AE=2p
.
Построение возможно, если существует общая внутренняя касательная к окружностям радиусов r
и r_{a}
, т. е. если расстояние между их центрами не меньше суммы их радиусов. Поскольку
AO_{a}=\sqrt{O_{a}E^{2}+AE^{2}}=\sqrt{r_{a}^{2}+p^{2}},~AO=\frac{r}{r_{a}}\cdot AO_{a}=\frac{r}{r_{a}}\sqrt{r_{a}^{2}+p^{2}},
то
OO_{a}=AO_{a}-AO=\frac{r_{a}-r}{r_{a}}\sqrt{r_{a}^{2}+p^{2}},~OO_{a}\geqslant r_{a}+r,
\frac{r}{r_{a}}\sqrt{r_{a}^{2}+p^{2}}\geqslant r_{a}+r,~~\sqrt{r_{a}^{2}+p^{2}}\geqslant\frac{r_{a}(r_{a}+r)}{r_{a}-r},~p^{2}\geqslant\frac{4r_{a}^{3}r}{(r_{a}-r)^{2}}.
Следовательно,
r\lt r_{a},~p\geqslant\frac{2r_{a}\sqrt{r_{a}r}}{r_{a}-r}.