6945. С помощью циркуля и линейки постройте треугольник по периметру и радиусам двух вневписанных окружностей.
Решение. Предположим, что нужный треугольник ABC
построен: 2p
— его периметр, r_{b}
— радиус вневписанной окружности с центром O_{b}
, касающейся стороны AC
, r_{c}
— радиус вневписанной окружности с центром O_{c}
, касающейся стороны AB
.
Пусть D
— точка касания с прямой BC
окружности с центром O_{b}
. Тогда BD=p
(см. задачу 4805), окружность с центром O_{b}
вписана в угол ACD
, а окружность с центром O_{c}
— в угол, смежный с углом ABC
. Отсюда вытекает следующее построение.
Строим окружность с центром O_{b}
радиуса r_{b}
. В произвольной её точке D
проводим касательную и откладываем на ней отрезок DB=p
. Через точку B
проводим вторую касательную к этой окружности. Пусть K
— точка касания. В угол, смежный с углом DBK
, вписываем окружность радиуса r_{c}
. Проводим общую внутреннюю касательную к построенным окружностям, отличную от BK
. Точки пересечения этой касательной с прямыми BK
и DB
— искомые вершины A
и C
треугольника ABC
.
Действительно, окружности с центрами O_{b}
и O_{c}
радиусов r_{b}
и r_{c}
— его вневписанные окружности, а периметр треугольника ABC
равен удвоенному отрезку DB
, т. е. 2p
(см. задачу 4805).