6947. С помощью циркуля и линейки постройте треугольник по стороне и радиусам вписанной и описанной окружностей.
Решение. Предположим, что нужный треугольник ABC
построен: BC=a
— его данная сторона, а r
и R
— радиусы вписанной и описанной окружностей соответственно.
Обозначим \angle BAC=\alpha
. По теореме синусов \sin\alpha=\frac{a}{2R}
. Построив прямоугольный треугольник по катету, равному a
и гипотенузе, равной 2R
, получим угол \alpha
(или 180^{\circ}-\alpha)
. Теперь наша задача сводится к построению треугольника по стороне, противолежащему углу и радиусу вписанной окружности (см. задачу 2432).
Задача имеет решение, если a\leqslant2R
и r\leqslant\frac{a}{2}\tg\left(45^{\circ}-\frac{\alpha}{4}\right)
.