6957. Внутри трапеции ABCD
с основаниями AD
и BC
отмечены точки M
и N
так, что AM=CN
и BM=DN
, а четырёхугольники AMND
и BMNC
вписанные. Докажите, что прямая MN
параллельна основаниям трапеции.
Решение. Продолжим отрезок BM
до пересечения с прямой AD
в некоторой точке K
и обозначим \angle MAK=\alpha
, \angle AKM=\beta
Тогда \angle AMB
— внешний угол треугольника AMK
при вершине M
, поэтому \angle AMB=\alpha+\beta
, Кроме того, \angle KBC=\angle AKB=\beta
. Четырёхугольник AMND
вписанный, поэтому \angle MND=180^{\circ}-\alpha
. Аналогично из того, что четырёхугольник BMNC
вписанный, следует равенство \angle MNC=180^{\circ}-\beta
. Следовательно,
\angle CND=360^{\circ}-\angle MNC-\angle MND=\alpha+\beta=\angle AMB.
По условию AM=CN
и BM=DN
, поэтому треугольники AMB
и CND
равны по двум сторонам и углу между ними, откуда AB=CD
, т. е. трапеция ABCD
равнобедренная. Отсюда следует, что прямая l
, проходящая через середины её оснований AD
и BC
, перпендикулярна этим основаниям.
Заметим, что центр окружности, в которую вписан четырёхугольник AMND
, лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AD
, т. е. на прямой l
. Аналогично центр окружности, в которую вписан четырёхугольник BMNC
, также лежит на прямой l
.
Отрезок MN
— общая хорда этих двух окружностей, поэтому прямая l
, соединяющая их центры, перпендикулярна также и прямой MN
(см. задачу 1130). Итак, основания трапеции и прямая MN
перпендикулярны одной и той же прямой l
, следовательно, прямая MN
параллельна основаниям трапеции.
Автор: Васильев М. Ю.
Источник: Московская математическая олимпиада. — 2016, LXXIX, 11 класс