6967. Окружность касается одной стороны треугольника и делит каждую из двух других его сторон на три равные части.
а) Докажите, что данный треугольник равнобедренный.
б) В каком отношении высота этого треугольника делит его боковую сторону?
Ответ. 5:4
.
Решение. а) Пусть окружность пересекает сторону AB
треугольника ABC
в точках K
и L
, а сторону AC
— в точках M
и N
. При этом BK=KL=AL
и AM=MN=CN
. Тогда AL\cdot AK=AM\cdot AN
(см. задачу 2636), или 2AL^{2}=2AM^{2}
. Отсюда получаем, что AL=AM
, значит,
AB=3AL=3AM=AC.
Следовательно, треугольник ABC
равнобедренный.
б) Пусть D
— точка касания окружности с основанием BC
. Тогда D
— середина BC
, а AD
— высота треугольника ABC
.
Обозначим BK=a
, \angle ABC=\alpha
. Тогда AB=AC=3a
. По теореме о касательной и секущей
BD=\sqrt{BK\cdot BL}=\sqrt{a\cdot2a}=a\sqrt{2},~\cos\alpha=\frac{BD}{AB}=\frac{a\sqrt{2}}{3a}=\frac{\sqrt{2}}{3}.
Пусть CH
— вторая высота треугольника ABC
. Тогда
BH=BC\cos\alpha=2a\sqrt{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{3}=\frac{4a}{3},~AH=AB-BH=3a-\frac{4a}{3}=\frac{5a}{3}.
Следовательно,
\frac{AH}{BH}=\frac{\frac{5a}{3}}{\frac{4a}{3}}=\frac{5}{4}.
Источник: ЕГЭ. — 2016